군, 가환군
집합 $G \left(\neq \varnothing \right)$ 위에 이항연산 $\ast$이 정의되어 있고 임의의 원소 $a,~b,~c \in G$에 대하여 다음이 성립하면 $\left(G,~\ast \right)$을 군(group)이라고 한다.
(ⅰ) $a \ast b \in G$
(ⅱ) $a \ast \left(b \ast c \right)=\left(a \ast b \right)\ast c$
(ⅲ) 특정한 원소 $e \in G$가 존재하여, 모든 원소 $a \in G$에 대하여 등식 $a \ast e = a = e \ast a$가 성립한다.
(ⅳ) 각 $a \in G$에 대하여 $a \ast d = e = d \ast a$인 원소 $d \in G$가 존재한다. ($d=a^{-1}$)로 표기한다.
특별히 $a \ast b=b \ast a$을 만족하는 군을 가환군(abelian group)이라 한다.
무한군, 유한군, 위수
군 $\left(G,~\ast \right)$에서
(ⅰ) $G$가 무한집합일 때 이 군을 무한군(infinite group)이라 하고,
(ⅱ) $G$가 유한집합일 때 이 군을 유한군(finite group)이라고 하며 $\left|G \right|=n$인 경우 $n$을 이 군의 위수(order)라고 한다.
(1) $\left(G,~\ast \right),~\left(H,~\circ \right)$을 군이라 하자. $G \times H$의 연산 $\bullet$을 $$\left(g,~h \right) \bullet \left(g^{\prime},~h^{\prime}\right)=\left(g \ast g^{\prime},~h \circ h^{\prime}\right)$$이라 정의하면 $G \times H$는 군이다. 또한 $G$와 $H$가 가환군이면 $G \times H$는 가환군이고, $G$와 $H$가 유한군이면 $G \times H$는 유한군이며 $\left|G \times H \right|=\left|G \right| \left|H \right|$이다.
군의 기본 정리
(1) 군 $G$에서 $a,~b,~c \in G$에 대하여 다음이 성립한다.
① $G$는 유일한 항등원을 갖는다.
② $ab=ac$이면 $b=c$이고, $ba=ca$이면 $b=c$이다.
③ $G$의 각 원소는 유일한 역원을 갖는다.
(2) 군 $G$에서 $a,~b,~c \in G$에 대하여 다음이 성립한다.
① $\left(ab \right)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$
② $\left(a^{-1} \right)^{-1}=a$
$\boldsymbol{a^{n},~na}$
곱셈군 $G$에서 임의의 원소 $a \in G$와 정수 $n$에 대하여 $a^{n}$을 다음과 같이 정의한다. $$a^{n}=\begin{cases} a \cdots a &,n >0 \\ e &,n=0 \\ a^{-1} \cdots a^{-1} &,n < 0 \end{cases}$$ 덧셈군 $G$에서 임의의 원소 $a \in G$와 정수 $n$에 대하여 $na$을 다음과 같이 정의한다. $$na=\begin{cases} a+\cdots+a &,n >0 \\ 0 &,n=0 \\ \left(-a \right)+\cdots+\left(-a \right) &,n < 0 \end{cases}$$
(1) 군 $G$에서 임의의 원소 $a \in G$와 정수 $m,~n$에 대하여 다음이 성립한다.
① $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$
② $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$
군의 원소의 위수
군 $G$에서의 원소 $a \in G$에 대하여
(ⅰ) $a^{k}=e$인 양의 정수 $k$가 존재하는 경우에 $a$를 유한 위수(finite order)를 가진 원소라 하고, $a^{n}=e$인 가장 작은 양의 정수 $n$을 $a$의 위수(order)라고 하며 $\left|a \right|=n$으로 나타낸다.
(ⅱ) 모든 양의 정수 $k$에 대하여 $a^{k} \neq e$일 때, $a$는 무한 위수(infinite order)를 가진 원소라고 한다.
(1) 군 $G$와 $a \in G$에 대하여 다음이 성립한다.
① $a$가 무한 위수를 가지면 각각의 $k \in \mathbb{Z}$에 따라 $a^{k}$는 모두 다르다.
② $i \neq j$일 때, $a^{i}=a^{j}$이면 $a$는 유한 위수를 갖는다.
③ $a$의 위수가 $n$일 때, $a^{k}=e \Leftrightarrow n~\vert~k$이고, $a^{i}=a^{j} \Leftrightarrow i \equiv j \left(\rm mod~\it n \right)$이다.
④ $\left|a \right|=n$이면 임의의 정수 $m$에 대하여 $\left|a^{m}\right|=\dfrac{n}{\rm gcd \left(\it n,~m \right)}$이다.
부분군
군 $G$에서 $G$의 부분집합 $H \left(\neq \varnothing \right)$가 $G$의 연산에 관하여 군을 이룰 때, $H$를 군 $G$의 부분군(subgroup)이라 하고 $H \leq G$로 표기한다.
진부분군
(ⅰ) $G$와 $\left\{e \right\}$를 $G$의 자명한 부분군(trivial subgroup)이라 한다.
(ⅱ) $G$와 $\left\{e \right\}$가 아닌 $G$의 부분군을 진부분군(proper subgroup)이라 한다.
(1) 군 $G$에서 $G$의 부분집합 $H \left(\neq \varnothing \right)$가 다음을 만족하면 $H$는 $G$의 부분군이다.
① $a,~b \in H \Rightarrow ab \in H$
② $a \in H \Rightarrow a^{-1} \in H$
(2) 군 $G$에서 $G$의 부분집합 $H \left(\neq \varnothing \right)$가 $$a,~b \in H \Rightarrow ab^{-1} \in H$$ 를 만족하면 $H$는 $G$의 부분군이다.
(3) 군 $G$에서 유한 부분집합 $H \left(\neq \varnothing \right)$에 대하여 $$a,~b \in H \Rightarrow ab \in H$$ 가 성립하면 $H$는 군 $G$의 부분군이다.
(4) 군 $G$의 부분군 $H,~K$에 대하여 $$HK=\left\{hk~\vert~h \in H,~k \in K \right\}$$ 라 정의한다. 그러면 $HK$가 $G$의 부분군이기 위한 필요충분조건은 $HK=KH$인 것이다.
중심
군 $G$에 대하여 다음을 $G$의 중심(center)이라 한다. $$Z \left(G \right)=\left\{a \in G|~\forall g \in G,~ag=ga \right\}$$
(1) 군 $G$의 중심 $Z \left(G \right)$는 $G$의 부분군이다.
순환군, 순환부분군
(ⅰ) 군 $G$와 $a \in G$에 대하여 $\left< a \right>$를 $a$에 의하여 생성되는 순환부분군(cyclic subgroup)이라 한다.
(ⅱ) 군 $G$에 대하여 $G=\left< a \right>$인 $a \in G$가 존재할 때, $G$는 순환군(cyclic group)이라 하고 $a$를 생성원(generator)이라 한다.
(1) 군 $G$에서 $a \in G$에 대하여 $\left< a \right>=\left\{a^{n}|~n \in \mathbb{Z}\right\}$는 $a$를 포함하는 $G$의 최소의 부분군이다. 즉, $H$가 $a$를 포함하는 $G$의 부분군이면 $\left< a \right> \subset H$가 성립한다.
(2) 군 $G$에서 $a \in G$에 대하여 다음이 성립한다.
① $a$가 무한 위수를 가지면 각각의 $k \in \mathbb{Z}$에 따라 $a^{k}$는 모두 다르므로 $\left< a \right>=\left\{a^{k}|~k \in \mathbb{Z}\right\}$는 무한 부분군이다.
② $\left|a \right|=n$이면 $\left< a \right>$는 위수 $n$을 갖는 부분군이며 $\left< a \right>=\left\{e=a^{0},~a^{1},~a^{2},~a^{3},~\cdots,~a^{n-1}\right\}$이다.
(3) 순환군의 모든 부분군은 순환군이다.
(4) 위수 $n$인 순환군 $G=\left< a \right>$에 대하여 다음이 성립한다.
① $d~\vert~n$인 $d$에 대하여 $\left< a^{n/d} \right>$는 위수 $d$인 $G$의 부분군이고 $\left< a^{n/d} \right>=\left\{x \in G|~x^{d}=e \right\}$이 성립한다.
② $d~\vert~n$인 $d$에 대하여 $d$의 위수를 가지는 부분군이 유일하게 존재한다.
③ $d~\vert~n$인 $d$에 대하여 $d$의 위수를 가지는 원소는 $\varphi \left(d \right)$개 이다.
④ $G$는 $\varphi \left(n \right)$개의 생성원을 갖는다.
(5) $\left[a \right]_{n}:\mathbb{Z}_{n}$의 생성원 $\Leftrightarrow \rm gcd \left(\it a,~n \right)=$$1$
(6) 군 $G$의 부분집합 $S \left(\neq \varnothing \right)$에 대하여 $\left< S \right>$는 $S$의 원소 또는 원소의 역원의 유한 곱들을 모두 모아 놓은 집합이라 하면
① $\left< S \right>$는 $S$를 포함하는 $G$의 부분군이다.
② $H$가 $S$를 포함하는 $G$의 부분군이라 하면 $\left< S \right> \subset H$이다.
(7) $\mathbb{Z}_{n}^{*}$가 순환군일 필요충분조건은 $n$이 원시근을 갖는 것이다.
(8) 군 $G$에 대하여 위수 $n$인 순환 부분군의 개수를 $a$, 위수 $n$인 원소의 개수를 $b$라 하면 $$a= \dfrac{b}{\varphi(n)}$$ 이 성립한다.
준동형사상, 동형, 동형사상
$\left(G,~\ast \right),~\left(H,~\circ \right)$를 군이라 하자. $f:G \to H$가 임의의 원소 $a,~b \in G$에 대하여 $$f \left(a \ast b \right)=f \left(a \right) \circ f \left(b \right)$$ 를 만족할 때 ,$f$는 준동형사상(homomorphism)이라 한다. 또한 준동형사상 $f$가 전단사 함수일 때 $G$와 $H$는 동형(isomorphic)이라 한다. 이 때 $G \cong H$로 나타내고 $f$는 동형사상(isomorphism)이라 한다.
(1) 무한 순환군은 $\mathbb{Z}$와 동형이고 위수 $n$인 유한 순환군은 $\mathbb{Z}_{n}$과 동형이다.
(2) $G$와 $H$를 각각 항등원 $e_{G},~e_{H}$를 갖는 군이라 하자. $f:G \to H$가 준동형사상이라면 다음을 만족한다.
① $f \left(e_{G}\right)=e_{H}$
② 임의의 $a \in G$에 대하여 $f \left(a^{-1} \right)=f \left(a \right)^{-1}$이다.
③ $K$가 $G$의 부분군이면 $f \left(K \right)$는 $H$의 부분군이다.
④ $f$가 단사이면 $G \cong Im~f$이다.
⑤ $a \in G$가 유한위수를 가지면 $\left|f \left(a \right)\right|~\vert~\left|a \right|$가 성립한다.
(3) 군 동형사상 $f:G \to H$와 $a \in G$에 대하여 다음이 성립.
① $G$가 순환군이면 $H$ 역시 순환군이다.
② $G$가 가환이면 $H$ 역시 가환이다.
③ 임의의 $a \in G$에 대하여 $\left|f \left(a \right)\right|=\left|a \right|$이 성립한다.
(4) ① 동형은 동치관계이다.
② $G \cong G^{\prime},~H \cong H^{\prime} \Rightarrow G \times H \cong G^{\prime} \times H^{\prime}$
③ 군 $G_{1},~G_{2},~\cdots,~G_{n}$와 $\sigma \in S_{n}$에 대하여 $G_{1} \times G_{2} \times \cdots \times G_{n} \cong G_{\sigma \left(1 \right)},~G_{\sigma \left(2 \right)} \times \cdots \times G_{\sigma \left(n \right)}$
(5) (Cayley 정리) 임의의 군 $G$에 대하여 $G$는 적당한 집합 위의 치환군과 동형이다.
(6) $G$가 위수 $n$인 군이면 $G$는 $n$차 치환군과 동형이다.
(7) $\rm gcd \left(\it m,~n \right)=1$이면 $\mathbb{Z}_{m} \times \mathbb{Z}_{n} \cong \mathbb{Z}_{mn}$이다.
자기동형사상, 내부자기동형사상
군 $G$에 대하여 $G$에서 $G$로의 동형사상을 자기동형사상이라 하고 모든 자기동형사상들의 집합을 $\rm Aut \left(\it G \right)$로 표기한다.
군 $G$와 $g \in G$에 대하여 함수 $f:G \to G$, $f \left(x \right)=gxg^{-1}$을 내부자기동형사상이라 하고, 모든 내부자기동형사상들의 집합을 $\rm Inn \left(\it G \right)$로 표기한다.
(1) $\rm Aut \left(\it \mathbb{Z}_{n} \right) \cong \mathbb{Z}_{n}^{*}$
(2) $\mathbb{Z}_{n}^{*} \cong \mathbb{Z}_{n_{1}}^{*} \times \mathbb{Z}_{n_{2}}^{*} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_{t}}^{*}$ (단, $n_{i}$는 쌍마다 서로소)
좌잉여류, 우잉여류
군 $G$에서 $H$가 $G$의 부분군일 때, $a \in G$에 대하여 $$aH=\left\{ah~|~h \in H \right\},~Ha=\left\{ha~|~h \in H \right\}$$
($G$가 덧셈군인 경우 $$a+H=\left\{a+h~|~h \in H \right\},~H+a=\left\{h+a~|~h \in H \right\}$$으로 표현한다.)
를 각각 $G$에서의 $H$의 좌잉여류(left coset), 우잉여류(right coset)이라 하고 또 $a$를 대표원(representative)이라고 한다.
(1) 군 $G$에 대하여 $K$는 군 $G$의 부분군이고 $a,~b \in G$라 하자. 다음과 같이 정의된 $G$위의 관계 $\sim$는 동치관계이다. $$a \sim b \Leftrightarrow ab^{-1} \in K$$
② $\sim$는 $G$상의 동치관계이다.
③ $a$의 동치류 $\left[a \right]=Ka$이다.
(2) 군 $G$에 대하여 $K$는 군 $G$의 부분군이고 $a,~b \in G$라 하자. 그러면 $ab^{-1} \in K \Leftrightarrow Ka=Kb$이다.
(3) 군 $G$에 대하여 $K$는 군 $G$의 부분군이고 $a,~b \in G$라 하자. $K$의 우잉여류는 다음 중 하나 그리고 단 하나가 성립한다.
① $Ka \cap Kb = \varnothing$
② $Ka=Kb$
(4) 군 $G$와 $G$의 부분군 $K$에 대하여 다음이 성립한다.
① $G=\displaystyle{\bigcup_{a \in G}}Ka$
② 각각의 $a \in G$에 대하여 전단사인 $f:K \to Ka$가 존재한다.
지수
군 $G$에 대하여 $H$는 군 $G$의 부분군이라 하자. $G$에서 서로 다른 $H$의 우잉여류의 개수를 $G$에서 $H$의 지수(index)라 하고 $\left[G:H \right]$로 나타낸다.
(1) 군 $G$에 대하여 $K$는 군 $G$의 부분군이라 하면 서로 다른 좌잉여류의 집합에서 서로 다른 우잉여류의 집합으로의 전단사 함수가 존재한다. 즉, 좌잉여류의 개수와 우잉여류의 개수는 같다.
(2) $H,K$가 $K \subset H$를 만족하는 군 $G$의 부분군이면 다음이 성립한다.
(ⅰ) $\left[G:H \right]$와 $\left[H:K \right]$는 유한이면 $\left[G:K \right]$는 유한이고 $\left[G:K \right]=\left[G:H \right]\left[H:K \right]$이다.
(ⅱ) $\left[G:K \right]$가 유한이면 $\left[G:H \right]$와 $\left[H:K \right]$는 유한이고 $\left[G:K \right]=\left[G:H \right]\left[H:K \right]$이다.
※ $\left[G:H \right]$ 또는 $\left[H:K \right]$가 무한인 경우에도 $\left[G:K \right]=\left[G:H \right]\left[H:K \right]$는 성립한다.
(3) 군 $G$의 유한부분군 $H$, $K$에 대하여 $HK=\left\{hk~|~h \in H, k \in K \right\}$라 하면 다음이 성립한다. $$ \left| HK \right|= \dfrac{\left| H \right| \left| K \right|}{\left| H \cap K \right|}$$
(4) 군 $G$에 대하여 $K$는 군 $G$의 부분군이고 $a,b \in G$라 하자. 그러면 $K$의 우잉여류는 다음 중 하나 그리고 단 하나가 성립한다.
(ⅰ) $Ka \cap Kb=\varnothing$
(ⅱ) $Ka=Kb$
(5) 군 $G$와 $G$의 부분군 $K$에 대하여 $G=\displaystyle{\bigcup_{a \in G}}Ka$가 성립한다.
(6) (Lagrange 정리) $G$가 유한군이면 $G$의 부분군 $K$에 대하여 $\left|K \right|~\vert~\left|G \right|$이다. 특별히 $\left|G \right|=\left|K \right| \left[G:K \right]$이다.
(7) $G$를 유한군이라 하면 다음이 성립한다.
① $a \in G$이면 $\left|a \right|~\vert~\left|G \right|$이다.
② $\left|G \right|=k$이면 임의의 $a \in G$에 대하여 $a^{k}=e$이다.
(8) $p$는 양의 소수라고 하자. 그러면 위수 $p$인 군과 $\mathbb{Z}_{p}$는 동형이다.
(9) 위수 $4$인 군은 $\mathbb{Z}_{4}$ 또는 $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}$와 동형이다.
(10) 위수 $6$인 군은 $\mathbb{Z}_{6}$ 또는 $S_{3}$와 동형이다.
정규부분군
군 $G$의 부분군 $N$이 임의의 원소 $a \in G$에 대하여 $Na=aN$을 만족하면 $N$을 $G$의 정규부분군(normal subgroup)이라 하고 $N ◁ G$으로 표기한다.
(1) 군 $G$의 부분군 $N$에 대하여 $\left[G:N \right]=2$이면 $N$은 $G$의 정규부분군이다.
(2) $N$이 군 $G$의 정규부분군일 때 $Na=Nc,~Nb=Nd$이면 $Nab=Ncd$이다.
(3) 군 $G$의 부분군 $N$에 대하여 다음 조건은 서로 동치이다.
① $N◁G$
② $\forall~a \in G,~a^{-1}Na \subseteq N$
③ $\forall~a \in G,~aNa^{-1} \subseteq N$
④ $\forall~a \in G,~a^{-1}Na = N$
⑤ $\forall~a \in G,~aNa^{-1} = N$
(4) 군 $G$의 부분군 $H,~K$에 대하여 다음이 성립한다.
① $H◁G \Rightarrow HK,~KH \leq G$
② $H◁G,~K◁G \Rightarrow HK◁G$
(5) 군 $G$에 대하여 $Z\left(G \right)$는 $G$의 정규부분군이다.
상군
군 $G$의 정규부분군 $N$에 대하여 $$G/N=\left\{Ng~\vert~g \in G \right\}$$으로 정의하고 연산 $$\left(Na \right) \circ \left(Nb \right)=Nab$$에 대하여 $\left(G/N,~\circ \right)$을 $N$을 법으로 하는 $G$의 상군(잉여군, factor group)이라 한다.
(1) $N$을 군 $G$의 정규부분군이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.
① $\circ:\left(G/N \right) \times \left(G/N \right) \to G/N$을 $\circ \left(Na,~Nb \right)=Nab$으로 정의하면 잘 정의된 함수이다.
② $G/N$은 ①의 연산에 대하여 군이 된다.
③ $G$가 유한이면 $G/N$의 위수는 $\left|G \right|/ \left|N \right|$이다.
④ $G$가 가환군이면 $G/N$도 가환군이다.
(2) 군 $G$에 대하여 상군 $G/Z \left(G \right)$이 순환군이면 군 $G$는 가환군이다.
핵
군 준동형사상 $f:G \to H$에 대하여 $\ker f$를 $f$의 핵이라 하고 다음과 같이 정의 한다. $$\ker f=\left\{a \in G~|~f \left(a \right)=e_{H}\right\}$$
(1) $f:G \to H$:군 준동형사상 $\Rightarrow \ker f ◁ G$
(2) $f:G \to H$가 군 준동형사상이라 하자. 그러면 $\ker f=\left< e_{G} \right> \Leftrightarrow f$:단사
(3) $N$을 군 $G$의 정규부분군이라 하자.
그러면 사상 $\pi:G \to G/N,~\pi \left(a \right)=Na$는 $\ker \pi = N$인 전사 준동형사상이다.
(4) (제 1동형 정리) 사상 $f:G \to H$가 전사, 군 준동형사상이면 $G/\ker f \cong H$이다.
(5) (제 2동형 정리)
군 $G$의 정규부분군 $N$과 부분군 $H$에 대하여 $H \cap N$은 $H$의 정규부분군이고 $H/ \left(H \cap N \right) \cong HN/N$이 성립한다.
(6) (제 3동형 정리)
$K,~N$을 $N \subseteq K \subseteq G$를 만족하는 군 $G$의 정규부분군이라 하자. 그러면 $K/N$은 $G/N$의 정규부분군이고 $\left(G/N \right)/\left(K/N \right) \cong G/K$이다.
(7) $N$을 군 $G$의 정규부분군이고 $K \left(\supseteq N \right)$를 $G$의 부분군이라 하면 다음이 성립한다.
① $K/N$은 $G/N$의 부분군이다.
② $K/N$은 $G/N$의 정규부분군이다. $\Leftrightarrow$ $K$는 $G$의 정규부분군이다.
③ $T$를 $G/N$의 (정규)부분군이라 하면,
$N \subseteq H$이고 $T=H/N$을 만족하는 $G$의 (정규)부분군 $H$가 존재한다.
(8) $f:G \to H$가 군 동형사상이고 $N$이 $G$의 정규부분군이면 $$G/N \cong H/f\left(N \right)$$ 이 성립한다.
치환
집합 $X \left(\neq \varnothing \right)$에서 $X$자신으로의 일대일 대응 $\sigma:X \to X$를 $X$위의 치환(permutation)이라 한다.
대칭군
집합 $X \left(\neq \varnothing \right)$ 위의 치환 전체의 집합을 $S \left(X \right)$로 나타낼 때, $S \left(X \right)$는 합성 연산 $\circ$에 대하여 군을 이룬다. 이 때 군 $S \left(X \right)$를 $X$위의 대칭군(symmetric group)이라고 한다. 특히, 양의 정수 $n$에 대하여 집합 $X_{n}=\left\{1,~2,~\cdots,~n \right\}$위의 대칭군 $S \left(X_{n}\right)$을 $S_{n}$으로 나타내고 이 군을 $n$차의 대칭군(symmetric group of degree $n$)이라고 한다.
치환군
대칭군의 부분군을 치환군(permutation group)이라 한다.
순환치환, 호환
치환 $\sigma \in S_{n}$가 서로 다른 $r$개의 숫자 $i_{1},~i_{2},~\cdots,~i_{r}$를 $$i_{1} \to i_{2} \to \cdots \to i_{r} \to i_{1}$$와 같이 순환적으로 변환시키고 나머지 문자는 (존재한다면) 고정시키는 치환일 때, 치환 $\sigma$를 길이 $r$인 순환치환(cycle) 또는 $r$항 순환치환(r-cycle)이라 하고 $\sigma$를 $$\left(i_{1}i_{2}\cdots i_{r} \right),~\left(i_{2} \cdots i_{r}i_{1} \right),~\cdots,~\left(i_{r}i_{1}\cdots i_{r-1}\right)$$으로 나타낸다. 특히 $2$차인 순환치환 $\left(ij \right)$를 호환(transposition)이라고 한다.
서로소
대칭군 $S_{n}$의 두 치환 $\sigma,~\tau$에 대하여 $$\sigma \left(i \right) \neq i \Rightarrow \tau \left(i \right)=i,~ \tau \left(j \right) \neq j \Rightarrow \sigma \left(j \right)=j$$일 때, $\sigma,~\tau$는 서로소(disjoint)인 치환이라 한다.
(1) 대칭군 $S_{n}$에서 두 순환치환 $\sigma=\left(a_{1}a_{2}\cdots a_{k}\right)$과 $\tau=\left(b_{1}b_{2}\cdots b_{r}\right)$에 대하여 $\left\{a_{1},~a_{2},~\cdots,~a_{k}\right\} \cap \left\{b_{1},~b_{2},~\cdots,~b_{r}\right\}=\varnothing$이면 $\sigma \tau=\tau \sigma$이다.
(2) 대칭군 $S_{n}$의 모든 원소는 서로소인 순환치환의 곱으로 나타낼 수 있다.
(3) 대칭군 $S_{n}$의 모든 원소는 호환의 곱으로 나타낼 수 있다.
(4) $S_{n}$에서 항등치환은 홀수 개의 호환의 곱으로 나타낼 수 없다.
(5) $S_{n}$에서 짝수 개의 호환의 곱으로 나타내어지고 또 홀수 개의 호환의 곱으로 나타내어지는 치환은 없다.
우치환, 기치환
(ⅰ) 우치환(even permutation) : 짝수 개의 호환의 곱으로 나타내어지는 치환.
(ⅱ) 기치환(odd permutation) : 홀수 개의 호환의 곱으로 나타내어지는 치환.
교대군
대칭군 $S_{n}$에 속하는 우치환 전체의 집합을 $A_{n}$으로 나타내고 교대군(alternating group)이라 부른다.
(1) $A_{n }$은 위수가 $n!/2$이고 지수가 $2$인 $S_{n}$의 정규부분군이다. (단, $n \geq 2$)